Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((3 - λ) (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Développez $(3 - λ) (5 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Soustrayez $5 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.2

Soustrayez $4$ de $15$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre $- 8 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (2 \cdot 4 - (- 3 (3 - λ)))$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 (3 - λ)))$

Étape 1.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 \cdot 3 - 3 (- λ)))$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 - 3 (- λ)))$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 + 3 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - - 9 - (3 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - (3 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - 3 λ)$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $8$ et $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (17 - 3 λ)$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $17$ et $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Additionnez $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.1

Développez $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.2.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.2

Multipliez $3$ par $11$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.2.2.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.2.2.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.2.2.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.2.7

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.3

Additionnez $3 λ^{2}$ et $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.4

Soustrayez $11 λ$ de $- 24 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ + 17)$

Étape 1.5.5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot 17$

Étape 1.5.5.2.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 1 \cdot 17$

Étape 1.5.5.2.7

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 17$

Étape 1.5.5.3

Additionnez $- 35 λ$ et $3 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ + 33 - λ^{3} - 17$

Étape 1.5.5.4

Soustrayez $17$ de $33$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16$

Étape 1.5.5.5

Déplacez $- 32 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} - 32 λ + 16$

Étape 1.5.5.6

Remettez dans l’ordre $11 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 1.7.1.3

Remplacez $4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.3.1

Remplacez $4$ dans le polynôme.

$- 4^{3} + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Étape 1.7.1.3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Étape 1.7.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Étape 1.7.1.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 64 + 11 \cdot 16 - 32 \cdot 4 + 16$

Étape 1.7.1.3.5

Multipliez $11$ par $16$ .

$- 64 + 176 - 32 \cdot 4 + 16$

Étape 1.7.1.3.6

Additionnez $- 64$ et $176$ .

$112 - 32 \cdot 4 + 16$

Étape 1.7.1.3.7

Multipliez $- 32$ par $4$ .

$112 - 128 + 16$

Étape 1.7.1.3.8

Soustrayez $128$ de $112$ .

$- 16 + 16$

Étape 1.7.1.3.9

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 1.7.1.4

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16}{λ - 4}$

Étape 1.7.1.5

Divisez $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ par $λ - 4$ .

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Étape 1.7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$32 λ$

$16$

Étape 1.7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$

Étape 1.7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

Étape 1.7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{3} + 4 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

Étape 1.7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$

Étape 1.7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

Étape 1.7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

Étape 1.7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

Étape 1.7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 λ^{2} - 28 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

Étape 1.7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$

Étape 1.7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

Étape 1.7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

Étape 1.7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							-	$4 λ$	+	$16$

Étape 1.7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 λ + 16$

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$

Étape 1.7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$
										$0$

Étape 1.7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 7 λ - 4$

Étape 1.7.1.6

Écrivez $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 4 = 0$

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ - 4$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez $λ - 4$ égal à $0$ .

$λ - 4 = 0$

Étape 1.7.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 4$

Étape 1.7.4

Définissez $- λ^{2} + 7 λ - 4$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $- λ^{2} + 7 λ - 4$ égal à $0$ .

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez $- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 7$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 1.7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 4$ .

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Étape 1.7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $49$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$

Étape 1.7.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.7.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$ vraie.

$λ = 4, \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 4$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 3 - 4 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Soustrayez $4$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - 4 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Soustrayez $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 4$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4.4

Soustrayez $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.15.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15.4

Soustrayez $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.16

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.18

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.20

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.21

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.22

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.23

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.24

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.26.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.26.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.26.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.26.4

Soustrayez $7$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} - \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} + \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4.4

Multipliez $- - \sqrt{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4.4.2

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4.5

Soustrayez $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.10

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.11

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.12

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.13

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.15.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15.4

Multipliez $- - \sqrt{33}$ .

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Étape 5.2.3.15.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15.4.2

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.15.5

Soustrayez $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.16

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.17

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.18

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.20

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.21

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.22

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.23

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.24

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.26.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.26.2

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.26.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.26.4

Multipliez $- - \sqrt{33}$ .

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Étape 5.2.3.26.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.26.4.2

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.2.3.26.5

Soustrayez $7$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

Étape 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} + \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} - \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

Étape 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

Étape 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$